Bir kümenin alt kümelerinin sayısını gösteren “PASCAL”
üçgenini oluşturalım.
Kümenin Eleman
Sayısı:
s(A)=0...........................................................1
s(A)=1........................................................1.....1
s(A)=2...................................................1.....2.....1
s(A)=3..............................................1.....3.....3.....1
s(A)=4..........................................1.....4.....6.....4.....1
s(A)=5......................................1.....5.....10....10.....5....1 ...
Üçgenin
tepesinde 1 yazdık.Sonraki satırların ilk ve son sayılarını yine 1 aldık.Bir
satırda ardışık iki sayının toplamını, bu sayıların ortasına gelecek şekilde
bir alt satıra yazdık.Bu işlemlere yukardan aşağı doğru devam ettik.
Örneğin; s(A)=4 ..............1.....4.....6.....4.....1
s(A)=5..........1.....5.....10.....10.....5.....1
Bu
tablodaki sayıların ne ifade ettiğini gösterelim.
A={a,b,c}
kümesi 3 elemanlı olup bu kümenin alt kümelerini yazalım.
0
elemanlı alt kümesi{} 1
tane
1
elemanlı alt kümeleri{a},{b},{c} 3
tane
2
elemanlı alt kümeleri{a,b},{a,c},{b,c}3 tane
3
elemanlı alt kümeleri{a,b,c} 1
tane
s(A)=3
olan satırdaki sayılar olduğunu görünüz.O halde bu tablo, bir kümenin 0
elemanlı, 1 elemanlı, 2 elemanlı,....alt kümelerinin sayısını gösterir.
Pascal
Üçgenini biraz daha büyüterek aşağıdaki örnekleri inceleyelim.
*6
elemanlı bir kümenin 2 elemanlı 15 tane alt kümesi vardır.(s(A)=6‘nın
satırındaki üçüncü sayı)
*5
elemanlı bir kümenin 2 elemanlı en az 3 elemanlı kaç tane alt kümesi olduğunu
araştıralım:
3
elemanlı..........10..........(s(A)=5’in satırında 4. sayı)
4
elemanlı..........5..........(s(A)=5’in satırında 5. sayı)
*7
elemanlı bir kümenin en az 2 elemanlı kaç alt kümesi olduğunu araştıralım:
1.YOL: (21+35+21+7+1)=120
2.YOL:
2 7-(1+7)=128-8=120 (Neden?)
Binom
Açılımı:
(a+b)n nin açılımında Pascal Üçgenindeki sayılar
terimdeki katsayıları olur.a’nın kuvvetleri n den 0 a kadar azalarak, b’nin
kuvvetleri 0 dan n ye kadar artarak yazılır.
(a+b)5=?
|
Katsayılar
|
1
|
5
|
10
|
10
|
5
|
1
|
|
A nın kuvvetleri
|
a5
|
a4
|
a3
|
a2
|
a
|
1
|
|
B nin
kuvvetleri
|
1
|
b
|
b2
|
b3
|
b4
|
b6
|
(a+b)5=1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5
*(5x-3y)2=?
|
Katsayılar
|
1
|
2
|
1
|
|
5x’in kuvvetleri
|
25x2
|
5x
|
1
|
|
-3y’nin kuvvetleri
|
1
|
-3y
|
9y2
|
(5x-3y)2= 25x2 -2.5x.3y +9y2= 25x2 –30xy +9y2
Yukarda ki
örnekten de görülebileceği gibi negatif terimin tek kuvvetlerinin olduğu
terimlerin işareti negatiftir.